Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah penyebaran peluang bagi peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu. Dalam hal ini dimungkinkan melakukan analisis regresi dengan syarat dengan asumsipenyebaran data normal. Namun dalam beberapa permasalahan akan ditemuka penyebaran data tidak normal.

Penemuan lain dari Poisson

Bila ditemukan permasalahan sebaran data tidak normal maka bisa diberikan solusi dengan transformasi data. Jika masih saja menghasilkan data yang tidak normal lakukan lagi transformasi data. Hanya saja perl diperhatikan bahwasanya dengan melakukan transformasi data akan menyebabkan pelanggaran terhadap prinsip kenormalan data.
Dalam hal ini akan dikenal beberapa jenis bagian data diantaranya nominal, ordinal, interval dan peluang deret hitung. Untuk data deret hitung biasanya ditemukan pada permasalahan atau sampel percobaan yang menyebabkan penyebaran data biasanya tidak normal. Pendektan yang paling acap dilaksanakan adalah dengan regresi logistik. Ini dilakukan dengan menyusun kelompokvariabel misalnya 1 untuk terpilih, 2 untuk yang tidak terpilih. Resiko dari penggunaan hal ini adalah kmungkinan akan kehilangan informasi nyata yang mendekati kenyataan. Akibatnya hasil yangj di dapat menjadi bias, atau bahkan kekurangan power dalam pengujian. Contoh data deret hitung (count) yang bisa ditemui antara lain:

1. Jumlah kecelakaan di jalan raya yang terjadi dalam satu bulan
2. Jumlah anak ikan yang menetas pada perlakuan khusus di laboratorium
3. Jumlah serangan hama pada 1 hektar sawah
4. Jumlah serangan penyakit pada tanaman dalam satu m2
5. Jumlah pertandingan sepakbola yang tertunda karena hujan pada satu kompetisi liga

Karakteristik Data Deret Hitung (Count) antara lain:, Tidak bernilai < 0, Keragamannya tidak konstan, selalu berubah, biasanya bias sangat tinggi, Data deret hitung (count) biasanya mengikuti distribusi poisson. Ketika variabel respon (bebas) berada dalam bentuk deret hitung (count), bisa digunakan regresi poisson dimana datanya harus bernilai > 0 dan bernilai absolute (positif). Regresi poisson mengikuti bentuk data logaritma natural (Ln) yang mana : loge(Y) = β0 + β1X1 + β2X2…. maka dapat kita tulis dalam bentuk lain sebagai berikut , Y = (eβ0) (eβ1X1) (eβ2X2)… Dengan begitu regresi poisson menyatakan hasil dalam bentuk logaritma sebagaifungsi linier variabel predictor.

Karakteristik Distribusi Poisson yaitu, Pertama Jumlah hasil percobaan (μ) pada suatu daerah diketahui (disini daerah dapat berupa panjang, area, volume atau periode waktu, dan lain-lain). Kedua,  Probabilitas/peluang hasil percobaan selama selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil proporsional terhadap besar-kecilnya daerah, bukan pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.  Ketiga, Poisson memiliki nilai konstanta (e) sebesar 2,71828. 

Ke-empat, Rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu tertentu dinotasikan dengan μ.. Ke-Lima, Banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson dinotasikan dengan x dan biasa disebut sebagai peubah acak X.  Ke Enam,  P(x; μ): dapat dijelaskan sebagai x hasil yang muncul pada percobaan poisson, dimana jumlah rataan banyaknya hasil adalah sebesar μ.. 
Jika diketahui rataan jumlah hasil (μ) yang terjadi pada suatu daerah, kita dapat menghitung peluang poisson berdasarkan rumus berikut, P(x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Dimana x adalah jumlah hasil aktual yang dihasilkan dari percobaan, sedangkan e merupakan konstanta = 2.71828. Percobaan Poisson dapat saja digunakan untuk menentukan hasil pengamatan-pengamatan mengenai dering telepon per jam, jumlah tikus di sawah per hektar, jumlah kelahiran Caesar di rumah sakit, kejadian kematian akibat kanker, dan banyaknya pembelian suatu merk kosmetik tertentu di sebuah pusat perbelanjaan.

Contoh Soal Distriusi Poisson

Leonardi yang menjual cat dalam satu bulan dapat menjual rata-rata 2 kaleng cat per hari . Berapa kemungkinan kaleng cat akan terjual 3 unit esok harinya? Dengan Notasi sebaran poisson dapat kita tulis sebagai berikut:

 μ = 2; karena rata-rata 2 kaleng cat yang terjual per hari.
 x = 3; karena kita akan melihat kecenderungan salesman mamat akan menjual 3 kaleng cat esok harinya.
 e = 2.71828; konstanta sebaran poisson.
Kemudian kita akan memasukkan penjualan mamat ke dalam rumus sebagai berikut:
P(x; μ) = (e-μ) (μx) / x!P(3; 2) = (2.71828-2) (23) / 3!P(3; 2) = (0,1353) (8) / 6P(3; 2) = 0.180

Jadi peluang Leonardi menjual 3 unit kaleng cat esok harinya adalah 0,180. Atau dalam bentuk lain dengan menggunakan tabel sebaran poisson yang biasanya terdapat dalam buku wajib para statistikawan Pengantar Statistika Edisi ke-3 karangan Ronald E.Walpole, maka rumus peluangLeonardi menjual 3 kaleng cat esok harinya adalah: P(3; 2) = (e-2) (23) / 3!

maka: 

P(3; 2) = 0,8571 – 0,6767
P(3; 2) = 0,180
Dari tabel sebaran poisson, dapat kita lihat bahwa nilai adalah 0,8571
Sedangkan nilai adalah 0,6767

Contoh II, Rata-rata pembelian produk Bedak “Malisa” di suatu department store pada hari minggu adalah 5 per hari. berapa probabilitas department store tersebut akan menjual kosmetik kurang dari 4 pada hari minggu berikutnya?

 μ = 5; karena rata-rata Malisa yang terjual pada hari minggu adalah 5.
 x = 0, 1, 2, atau 3; kemungkinan terjual kurang dari 4, maka kemungkunan mereka membeli 0, 1, 2, atau 3 lipstik.
 e = 2.71828; nilai konstanta.
 akan menghitung agregat dari peluang-peluang yang terjadi antara lain,
 P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) + P(3; 5).
P(x < 3, 5) = P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) + P(3; 5)
P(x < 3, 5)       = [ (e-5)(50) / 0! ] + [ (e-5)(51) / 1! ] + [ (e-5)(52) / 2! ] + [ (e-5)(53) / 3! ]P(x < 3, 5) = [ (0.006738)(1) / 1 ] + [ (0.006738)(5) / 1 ] + [ (0.006738)(25) / 2 ] + [ (0.006738)(125) / 6 ]
P(x < 3, 5) = [ 0.0067 ] + [ 0.03369 ] + [ 0.084224 ] + [ 0.140375 ]
P(x < 3, 5) = 0.2650
Jadi peluang Bedak “Malisa” akan terjual kurang dari 4 pada hari minggu kemudian adalah 0.2650.

Demikianlah teori tentang distribusi Poisson. Diharapkan soal dan pembahasan distribusi Poisson inibisa membantu dalam pengolahan data dalam suatu penelitian. Agar lebih lengkap pengetahuannya baca juga biografi penemu distribusi Poisson ini.

Sumber