Aplikasi Segitiga Pascal

Pengertian Segitiga Pascal adalah pola bilangan yang tersusun membentuk sebuah segi tiga dengan pola tertentu. Pola bilangan tersebut ditemukan oleh Blaise Pascal. Secara deskriptif jumlah dua bilangan yang berdekatan pada baris n sama dengan bilangan di antara pada baris n-1. Pendeskripsian lebih bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Contoh Segitiga Pascal

Jika diperhatikan pada baris pertama yang dilingkari merah, jumlah bilangan pada baris ke dua (1+1) adalah bilangan dua. Selanjutnya perhatikan lingkaran hijau, dimana (1+3) sama dengan 4 untuk angka dibawahnya. Demikian juga dengan bagian yang dilingkari biru. Angka 10 di dapat dari penjumlahan 2 bilangan berdekatan di atasnya.

Pola Jumlah Bilangan - Bilangan Segitiga Pascal

Jika diamati ternyata jumlah bilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga Pascal pada setiap barisnya membentuk suatu pola yaitu ,  

Baris ke-1 = 1                          = 1 = 20 = 21-1Baris ke-2 = 1 + 1                   = 2 = 21 = 22-1Baris ke-3 = 1 + 2 + 1             = 4 = 22 = 23-1
Baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1       = 8 = 23 = 24-1

Hal tersebut berlaku untuk kelanjutannya. Berdasrkan pola diatas dapat disimpulkan bahwasanya secara umum baris ke- n dari segitiga Pascal ini bisa dirumuskan dalam bentuk umum, 2n-1. Untuk menentukan baris ke berapanya tinggal subtitusi deret ke berapa itu ke rumus umum itu. Misalkan ingin mencari jumlah baris ke 20 maka silahkan ganti nilai n tersebut dengan 20.

Pola-Pola yang Terdapat Pada Diagonal-Diagonal Segitiga Pascal

Bila diamati lebih saksama lagi, ternyata bilangan-bilangan pada semua diagonal segitiga Pascal pun membentuk suatu pola. Pola tersebut adalah jika diuraikan akan menjadi sebagai berikut,

Diagonal ke-1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
Diagonal ke-2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... (Diagonal ke-2 diperoleh dari penjumlahn bilangan pada diagonal pertama yaitu: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, ...)
Diagonal ke-3 = 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... (Diagonal ke-3 diperoleh dari penjumlahan bilangan pada diagonal ke-2, yaitu: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, ...)
Diagonal ke-4 = 1, 4, 10, 20, 35, ... (Diagonal ke-4 diperoleh dari penjumlahan bilangan pada diagonal ke-3, yaitu: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 4, ...)

Sehingga dengan menggunakan pola yang telah kita pahami, kita dapat menentukan bilangan-bilangan terdapat pada diagonal ke berapa pun pada segitiga Pascal. Secara umum dapat dirumuskan, diagonal pada ke-n merupakan penjumlahan dari diagonal n-1.

Penggunaan Segitiga Pascal

Blaise Pascal menyusun segitiga Pascal tidak hanya sekedar menyusun bilangan-bilangan dalam bentuk segitiga. Ia pun menemukan bahwa segitiga Pascal memiliki kegunaan tertentu.Kegunaan dari segitiga Pascal ini adalah membantu penyelesaian beberapa permasalaha matematika seperti contoh di bawah ini.

Menentukan Koefisien Suku-suku Pada Pemangkatan Suku Dua. Contoh aplikasi segitiga pascal dalam permasalahan ini sebagai berikut, misalkan persamaan suku dua yang dimiliki (a + b)2  = (a + b)(a + b) jika dikalikan secara aljabar akan diperoleh  a2 + 2ab + b2. Koefisien dari a2 adalah 1. Koefisien dari ab adalah 2. Koefisien dari b2 adalah 1. Bila diamati bilangan 1, 2, dan 1 merupakan bilangan baris ke-2 pada segitiga Pascal. 

Hal tersebut berarti koefisien pada (a + b)3 adalah 1, 3, 3, dan 1. Agar lebih jelas mari kita buktikan bersama. (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) =  a3 + 3a2b + 3ab3 + b3. Sehingga diperoleh masing masing, Koefisien a3 = 1. Koefisien a2b = 3. Koefisien ab2 = 3. Koefisien b3= 1. Dengan demikian terbukti bahwa perkiraan kita di atas adalah benar, karena itu dapat disimpulkan: Jila (a + b)n maka kefisien dari suku-sukunya merupakan bilangan baris ke-n pada Segitiga Pascal.

Menentukan Nilai Peluang atau  Kemungkinan Suatu Kejadian, Di kelas dua SLTP, telah dipelajari tentang peluang. Jika tiga buah kartu (sebelah atas bergambar dan sebelah bawah bertuliskan angka) dilempar ke atas secara bersama-sama maka: P (tiga gambar) adalah 1/8, P ( Tiga gambar satu angka) adalah 3/8. P menyatakan Peluang. P (Satu gambar tiga angka) adalah 3/8, P (Tiga angka) adalah 1/8. Kita amati pembilang dari nilai-nilai peluang pada kejadian tesebut di atas, yaitu: 1, 3, 3, dan 1 ternyata angka tersebut merupakan angka-angka baris ketiga pada segitiga Pascal. Selain itu, penyebut dari nilai-nilai peluang pada kejadian tesebut di atas, yaitu angka 8 sama dengan jumlah angka baris ketiga pada segitiga Pascal.
Dengan demikian dapat disimpulkan, Jika n merupakan banyak benda yang dicari peluangnya (nilai kemungkinannya) maka nilai peluang dari kejadian tersebut merupakan angka dengan pembilangnya adalah angka baris ke-n pada segitiga Pascal dan penyebutnya merupakan jumlah angka baris ke-n pada segitiga Pascal. Itlah cara menyelesaikan soal Peluang dengan segitiga pascal.